Curiosa pregunta…
Tanto Morandir como kelendyr han aportado una valiosa contribución explicando acertadamente por qué el anillo convertía en invisible a su portador aunque me gustaría agregar que la invisibilidad era un poder menor del anillo y sólo afectaba a los seres inferiores.
El verdadero poder del anillo no radicaba en la invisibilidad pues la razón por la que Sauron lo forjó no fue para crear un poderoso artefacto que le sirviera ocultarse a los ojos de sus enemigos.
El anillo único fue, sin embargo, la culminación del poder de Sauron, algo así como los silmarili para Feaní¶r o los dos árboles para Yavanna, depositando en él parte de su poder. Mas, su motivo último, por decirlo de alguna forma, era el control de los otros anillos de poder, que someterían a los pueblos de la tierra media bajo su yugo.
Por tanto, el anillo tenía un poder mucho mayor que escupir fuego o volver invisible a su portador, tenía el poder de controlar a pueblos enteros.
No obstante, volviendo a la pregunta, hemos pasado por alto otros peculiares poderes del anillo pues aparte de la invisibilidad, el anillo era capaz de alargar la vida de su portador (veanse Gollum y Bilbo), de despertar la codicia de los que no lo tenían e incluso se dice que podía tener juicio propio pues, en palabras de Gandalf, el anillo quiso ser hallado y por eso lo encontró Bilbo.
Seguro que me dejo alguna otra característica en el tintero pero ahora no recuerdo más.
Resumiendo, el verdadero poder del Anillo íšnico consistía en su control sobre los anillos menores y la fuerza vital que el mismísimo Sauron depositó en él. Podría decirse que los otros poderes menores son tan sólo una manifestación de la malicia de Sauron.
Espero haber resuelto tu pregunta 
Saludetes
Jarvis